Доказательства теоремы пифагора

Пифагоровы штаны

Теорема Пифагора едва ли не самая узнаваемая и, несомненно, самая знаменитая в истории математики. В геометрии она применяется буквально на каждом шагу. Несмотря на простоту формулировки, эта теорема отнюдь не очевидна: глядя на прямоугольный треугольник со сторонами a < b < c, усмотреть соотношение a2 + b2 = c2 невозможно. Однажды известный американский логик и популяризатор науки Рэймонд Смаллиан, желая подвести учеников к открытию теоремы Пифагора, начертил на доске прямоугольный треугольник и по квадрату на каждой его стороне и сказал: «Представьте, что эти квадраты сделаны из кованого золота и вам предлагают взять себе либо один большой квадрат, либо два маленьких. Что вы выберете?» Мнения разделились пополам, возникла оживлённая дискуссия. Каково же было удивление учеников, когда учитель объяснил им, что никакой разницы нет! Но стоит только потребовать, чтобы катеты были равны, — и утверждение теоремы станет явным (рис. 1). И кто после этого усомнится, что «пифагоровы штаны» во все стороны равны? А вот те же самые «штаны», только в «сложенном» виде (рис. 2). Такой чертёж использовал герой одного из диалогов Платона под названием «Менон», знаменитый философ Сократ, разбирая с мальчиком-рабом задачу на построение квадрата, площадь которого в два раза больше площади данного квадрата. Его рассуждения, по сути, сводились к доказательству теоремы Пифагора, пусть и для конкретного треугольника.

Фигуры, изображённые на рис. 1 и 2, напоминают простейший орнамент из квадратов и их равных частей — геометрический рисунок, известный с незапамятных времён. Им можно сплошь покрыть плоскость. Математик назвал бы такое покрытие плоскости многоугольниками паркетом, или замощением. При чём тут Пифагор? Оказывается, он первым решил задачу о правильных паркетах, с которой началось изучение замощений различных поверхностей. Так вот, Пифагор показал, что плоскость вокруг точки могут покрыть без пробелов равные правильные многоугольники только трёх видов: шесть треугольников, четыре квадрата и три шестиугольника.

Значение квадрата Пифагора

Согласно учению древнегреческого математика и философа, найденный им ключ раскрывает скрытые способности человека на основе дня, являющегося днем рождения. Особым образом созданный квадрат опирается на цифры метрики и показывает то, что заложено в конкретную судьбу изначально.

Для нумерологов значение квадрата Пифагора имеет ту же силу, что для врача анамнез или для следователя улики. Подробная информация позволяет им ставить цельный диагноз или восстанавливать картину событий. Вот только врачам и следователям приходится самим собирать сведения, часть которых может быть и сокрыта, и искажена.

Нумерологу достаточно составить квадрат Пифагора, зная день рождения, чтобы натура клиента открылась во всей красе. И обмануть его будет невозможно.

Рассчитать судьбоносную схему можно с помощью готовых онлайн-калькуляторов. В сети они часто известны под именем цифрового анализа психоматрицы Александрова – современного российского математика и нумеролога, собравшего в одну систему все известные учения о нумерологии. А можно рассчитать квадрат Пифагора самостоятельно.

Мобильная связь

В настоящее время на рынке мобильной связи идет большая конкуренция среди операторов. Чем надежнее связь, чем больше зона покрытия, тем больше потребителей у оператора. При строительстве вышки (антенны) часто приходится решать задачу: какую наибольшую высоту должна иметь антенна, чтобы передачу можно было принимать в определенном радиусе (например радиусе R=200 км?, если известно. что радиус Земли равен 6380 км.)

Решение: Пусть AB= x, BC=R=200 км, OC= r =6380 км. OB = OA + AB OB = r + x Используя теорему Пифагора, получим ответ. Ответ: 2,3 км.

Пифагор – философ

Многие при имени Пифагор вспоминают его теорему. Но неужели мы можем встречать эту теорему только в геометрии? Нет, конечно, нет! Теорема Пифагора встречается в разных областях наук. Например: в физике, астрономии, архитектуре и в других. Но так же Пифагор и его теорема воспеты в литературе.

Как Пифагор рассчитывал способности человека

Квадрат Пифагора был добавлен на сайт In-contri по многочисленным просьбам пользователей нашего расчета совместимости, в котором в третьем разделе участвуют сравнения параметров двух партнеров из их психоматриц.

Несложно догадаться, что автором этого квадрата является, пожалуй, самый известный ученый, философ и математик — Пифагор. Его теорема известна каждому из нас со школьной скамьи, описанная им музыкальная гармония знакома всем, кто учился музыке, а его учение о познании мира стало основой всех естественных наук.

«Познать мир — значит познать управляющие им числа» — так утверждал Пифагор.

Одной из сфер его широкой научной деятельности было познание души человека и качеств изначально заложенных в личность через персональный расчет по дате рождения. Впоследствии этот расчет — квадрат Пифагора (он же психоматрица или магический квадрат) — стал одним из самых известных в нумерологии. Его целью являлось выявить данные человеку качества при рождении, чтобы направить его на тот путь, где бы он мог максимально раскрыть свои таланты, при этом уменьшив воздействие слабых сторон или компенсировав их.

Рассмотрим порядок расчета на примере:

Возьмем дату рождения 12.03.1985 (12 марта 1985 года).

1. Ищем сумму цифр дня и месяца из даты рождения: 1 + 2 + + 3 = 6
2. Складываем все цифры года из нашей даты: 1 + 9 + 8 + 5 = 23
3. Складываем полученные числа: 6 + 23 = 29 (1-е рабочее число)
4. Цифры из первого рабочего числа складываем между собой: 2 + 9 = 11 (2-е рабочее число)
5. Ищем разность первого рабочего числа и удвоенной первой цифры даты рождения:

29- 2*1 = 27 (3-е рабочее число)

6. Ищем сумму цифр из третьего рабочего числа: 2 + 7 = 9 (4-е рабочее число)

Делаем таблицу: первая строка — числа дня рождения в 8 ячеек, вторая строка — все рабочие числа тоже в 8 ячеек. Сразу замечание: если число дня рождения, месяца или рабочее число состоит из одной цифры, то оно все равно записывается в две ячейки, только первой будет ноль. В нашем случае это: 03 — март и 09 — 4 рабочее число.

1 2 3 1 9 8 5
2 9 1 1 2 7 9

Остается посчитать, сколько раз встречается каждая цифра в двух строках, и заполнить квадрат Пифагора. Расчет готов:

количество «1»

1111

характер

количество «4»

здоровье

количество «7»

7

удача

количество «2»

222

энергетика

количество «5»

5

логика, интуиция

количество «8»

8

доброта

количество «3»

3

познание

количество «6»

труд, рукоделие

количество «9»

99

память, ум

Уточнения:

● Если вы успели заметить, то для нашего времени цифр в расчете участвует 8 цифр: дата рождения 8 + 8 цифр из 4-х рабочих чисел — всего 16

● Если у человека день рождения или месяц рождения от 1 до 9, то записывается это в любом случае как две цифры, только первая будет 0 (а никак не пустой!)

● Многие онлайн расчеты грешат несоблюдением двух вышеназванных нюансов, поэтому вы можете встретить неправильные результаты

Радиус передачи мобильного сигнала

Современную жизнь уже невозможно представить без существования смартфонов. Но много ли было бы от них прока, если бы они не могли соединять абонентов посредством мобильной связи?!

Качество мобильной связи напрямую зависит от того, на какой высоте находиться антенна мобильного оператора. Для того чтобы вычислить, каком расстоянии от мобильной вышки телефон может принимать сигнал, можно применить теорему Пифагора.

Допустим, нужно найти приблизительную высоту стационарной вышки, чтобы она могла распространять сигнал в радиусе 200 километров.

АВ (высота вышки) = х;

ВС (радиус передачи сигнала) = 200 км;

ОС (радиус земного шара) = 6380 км;

Отсюда

ОВ=ОА+АВОВ=r+х

Применив теорему Пифагора, выясним, что минимальная высота вышки должна составить 2,3 километра.

Первый математик

Пифагора Самосского (570–495 годы до н. э.), чьё имя давно и неразрывно связано с замечательной теоремой, в известном смысле можно назвать первым математиком. Именно с него математика начинается как точная наука, где всякое новое знание — результат не наглядных представлений и вынесенных из опыта правил, а итог логических рассуждений и выводов. Лишь так можно раз и навсегда установить истинность любого математического предложения. До Пифагора дедуктивный метод применял только древнегреческий философ и учёный Фалес Милетский, живший на рубеже VII–VI веков до н. э. Он высказал саму идею доказательства, но применял его не систематически, избирательно, как правило, к очевидным геометрическим утверждениям типа «диаметр делит круг пополам». Пифагор продвинулся гораздо дальше. Считается, что он ввёл первые определения, аксиомы и методы доказательства, а также создал первый курс геометрии, известный древним грекам под названием «Предание Пифагора». А ещё он стоял у истоков теории чисел и стереометрии.

Другая важная заслуга Пифагора — основание славной школы математиков, которая более столетия определяла развитие этой науки в Древней Греции. С его именем связывают и сам термин «математика» (от греческого слова μαθημa — учение, наука), объединивший четыре родственные дисциплины созданной Пифагором и его приверженцами — пифагорейцами — системы знаний: геометрию, арифметику, астрономию и гармонику.

Отделить достижения Пифагора от достижений его учеников невозможно: следуя обычаю, они приписывали собственные идеи и открытия своему Учителю. Никаких сочинений ранние пифагорейцы не оставили, все сведения они передавали друг другу устно. Так что 2500 лет спустя историкам не остаётся ничего иного, кроме как реконструировать утраченные знания по переложениям других, более поздних авторов. Отдадим должное грекам: они хоть и окружали имя Пифагора множеством легенд, однако не приписывали ему ничего такого, чего он не мог бы открыть или развить в теорию. И носящая его имя теорема не исключение.

Справочная информация

ДокументыЗаконыИзвещенияУтверждения документовДоговораЗапросы предложенийТехнические заданияПланы развитияДокументоведениеАналитикаМероприятияКонкурсыИтогиАдминистрации городовПриказыКонтрактыВыполнение работПротоколы рассмотрения заявокАукционыПроектыПротоколыБюджетные организацииМуниципалитетыРайоныОбразованияПрограммыОтчетыпо упоминаниямДокументная базаЦенные бумагиПоложенияФинансовые документыПостановленияРубрикатор по темамФинансыгорода Российской Федерациирегионыпо точным датамРегламентыТерминыНаучная терминологияФинансоваяЭкономическаяВремяДаты2015 год2016 годДокументы в финансовой сферев инвестиционной

Интуитивное понимание теоремы Пифагора

Никто не спорит с тем, что теорема Пифагора работает. Но почти все её доказательства основаны на механических действиях: переставляем местами фигуры, и вуаля! — уравнение всё равно работает. Давайте подумаем: вам правда интуитивно понятно, что уравнение должно выглядеть как a² + b² = c²? А почему не 2a² + b² = c²? Давайте попробуем найти в этом смысл.

Для начала нам понадобится осознать и принять удивительный факт: любой прямоугольный треугольник можно разбить на два подобных прямоугольных треугольника.

Круто, да? Всего один опущенный перпендикуляр, и один треугольник превращается в две свои маленькие копии.

Собственно, этот пример говорит нам об очень простой вещи:

Площадь (чего-то большого) = Площадь (кое-чего среднего) + Площадь (кое-чего поменьше)

Маленькие треугольники были получены из большого, поэтому мы просто складываем их площади. И да, самое главное: поскольку треугольники подобны, для них действует одна и та же формула вычисления площади.

Давайте назовём длинную сторону (с длиной 5) — с, среднюю сторону (с длиной 4) — b, и короткую сторону (с длиной 3) — a. Формула площади для этих треугольников выглядит так:

Площадь = F*гипотенуза²,

где F — это множитель (в этом случае — 6/25 или 0,24). С формулой можно поиграть:

Площадь (чего-то большого) = Площадь (кое-чего среднего) + Площадь (кое-чего поменьше)

Fc² = Fb² + Fa²

Просто уберите F, и вы получите:

c² = b² + a²

Ой, так это же наша любимая теорема! Мы знали, что она нас не подведёт, но теперь мы понимаем, почему:

  • Треугольник можно разбить на два маленьких подобных треугольника
  • Поскольку площади малых треугольников складываются, квадраты гипотенуз также складываются.

Конечно, теорема Пифагора работает только в Евклидовой геометрии и не может применяться, например, к сферам. Но об этом нужно поговорить в другой раз.

Чтение по диагонали

В квадрате две диагонали. Одна идет сверху слева вниз направо, вторая справа сверху вниз налево. Им соответствую ячейки 1-5-9 и 3-5-7.

Диагональ 3-5-7 отображает сексуальный темперамент носителя. Чем больше там цифр, тем выше сексуальность.

Однако это не выдает развязный характер хозяина, а просто определяет его темперамент.

Вторая диагональ, 1-5-9, посвящена духовности. Об ее высоком развитии говорит показатель равный 5. Если чисел больше, речь о фанатизме, сектантстве. А вот отсутствие чисел выдает бездуховную натуру.

Теперь толкование квадрата Пифагора можно обратить и на выявление степени близости с избранником. Для этого следует сложить количество чисел по столбцам, строкам и диагонали. Чем меньше расхождение в обоих квадратах, тем гармоничнее будет союз. Но все это не значит, что над своей жизнью уже можно не работать совсем – толкования лишь предупреждают.

Справочная информация

ДокументыЗаконыИзвещенияУтверждения документовДоговораЗапросы предложенийТехнические заданияПланы развитияДокументоведениеАналитикаМероприятияКонкурсыИтогиАдминистрации городовПриказыКонтрактыВыполнение работПротоколы рассмотрения заявокАукционыПроектыПротоколыБюджетные организацииМуниципалитетыРайоныОбразованияПрограммыОтчетыпо упоминаниямДокументная базаЦенные бумагиПоложенияФинансовые документыПостановленияРубрикатор по темамФинансыгорода Российской Федерациирегионыпо точным датамРегламентыТерминыНаучная терминологияФинансоваяЭкономическаяВремяДаты2015 год2016 годДокументы в финансовой сферев инвестиционной

Практическое применение теоремы

Теорема Пифагора находит применение не только в математике, но и в архитектуре и строительстве, астрономии и даже литературе.

Сначала про строительство: теорема Пифагора находит в нем широкое применение в задачах разного уровня сложности. Например, посмотрите на окно в романском стиле:

Обозначим ширину окна как b, тогда радиус большой полуокружности можно обозначить как R и выразить через b: R=b/2. Радиус меньших полуокружностей также выразим через b: r=b/4. В этой задаче нас интересует радиус внутренней окружности окна (назовем его p).

Теорема Пифагора как раз и пригодиться, чтобы вычислить р. Для этого используем прямоугольный треугольник, который на рисунке обозначен пунктиром. Гипотенуза треугольника состоит из двух радиусов: b/4+p. Один катет представляет собой радиус b/4, другой b/2-p. Используя теорему Пифагора, запишем: (b/4+p)2=(b/4)2+(b/2-p)2. Далее раскроем скобки и получим b2/16+ bp/2+p2=b2/16+b2/4-bp+p2. Преобразуем это выражение в bp/2=b2/4-bp. А затем разделим все члены на b, приведем подобные, чтобы получить 3/2*p=b/4. И в итоге найдем, что p=b/6 – что нам и требовалось.

С помощью теоремы можно вычислить длину стропила для двускатной крыши. Определить, какой высоты вышка мобильной связи нужна, чтобы сигнал достигал определенного населенного пункта. И даже устойчиво установить новогоднюю елку на городской площади. Как видите, эта теорема живет не только на страницах учебников, но и часто бывает полезна в реальной жизни.

Что касается литературы, то теорема Пифагора вдохновляла писателей со времен античности и продолжает это делать в наше время. Например, немецкого писателя девятнадцатого века Адельберта фон Шамиссо она вдохновила на написание сонета:

Свет истины рассеется не скоро, Но, воссияв, рассеется навряд И, как тысячелетия назад, Не вызовет сомнения и спора. Мудрейшие, когда коснется взора Свет истины, богов благодарят; И сто быков, заколоты, лежат – Ответный дар счастливца Пифагора. С тех пор быки отчаянно ревут: Навеки всполошило бычье племя Событие, помянутое тут. Им кажется: вот-вот настанет время, И сызнова их в жертву принесут Какой-нибудь великой теореме.

(перевод Виктора Топорова)

А в двадцатом веке советский писатель Евгений Велтистов в книге «Приключения Электроника» доказательствам теоремы Пифагора отвел целую главу. И еще полглавы рассказу о двухмерном мире, какой мог бы существовать, если бы теорема Пифагора стала основополагающим законом и даже религией для отдельно взятого мира. Жить в нем было бы гораздо проще, но и гораздо скучнее: например, там никто не понимает значения слов «круглый» и «пушистый».

А еще в книге «Приключения Электроника» автор устами учителя математики Таратара говорит: «Главное в математике – движение мысли, новые идеи». Именно этот творческий полет мысли порождает теорема Пифагора – не зря у нее столько разнообразных доказательств. Она помогает выйти за границы привычного, и на знакомые вещи посмотреть по-новому.

Астрономия

На этом рисунке показаны точки A и B и путь светового луча от A к B и обратно. Путь луча показан изогнутой стрелкой для наглядности, на самом деле, световой луч — прямой.

Какой путь проходит луч? Поскольку свет идет туда и обратно одинаковый путь, спросим сразу: чему равна половина пути, который проходит луч? Если обозначить отрезок AB символом l, половину времени как t, а также обозначив скорость движения света буквой c, то наше уравнение примет вид

c * t = l

Очевидно? Это ведь произведение затраченного времени на скорость!

Теперь попробуем взглянуть на то же самое явление из другой системы отсчета, с другой точки зрения, например, из космического корабля, пролетающего мимо бегающего луча со скоростью v. Раньше мы поняли, что при таком наблюдении скорости всех тел изменятся, причем неподвижные тела станут двигаться со скоростью v в противоположную сторону. Предположим, что корабль движется влево. Тогда две точки, между которыми бегает зайчик, станут двигаться вправо с той же скоростью. Причем, в то время, пока зайчик пробегает свой путь, исходная точка A смещается и луч возвращается уже в новую точку C.

Вопрос: на сколько успеет сместится точка (чтобы превратиться в точку C), пока путешествует световой луч? Точнее, опять спросим о половине данного смещения! Если обозначить половину времени путешествия луча буквой t’, а половину расстояния AC буквой d, то получим наше уравнение в виде:

v * t’ = d

Буквой v обозначена скорость движения космического корабля. Опять очевидно, не правда ли?

Другой вопрос: какой путь при этом пройдет луч света?(Точнее, чему равна половина этого пути? Чему равно расстояние до неизвестного объекта?)

Если обозначить половину длины пути света буквой s, то получим уравнение:

c * t’ = s

Здесь c — это скорость света, а t’ — это тоже самое время, которые мы рассматривали на формулы выше.

Теперь рассмотрим треугольник ABC. Это равнобедренный треугольник, высота которого равна l. Да-да, тому самому l, которое мы ввели при рассмотрении процесса с неподвижной точки зрения. Поскольку движение происходит перпендикулярно l, то оно не могло повлиять не нее.

Треугольник ABC составлен из двух половинок — одинаковы прямоугольных треуголников, гипотенузы которых AB и BC должны быть связаны с катетами по теореме Пифагора. Один из катетов — это d, которое мы рассчитали только что, а второй катет — это s, который проходит свет, и который мы тоже рассчитали. Получаем уравнение: s2 = l2 + d2

Это ведь просто теорема Пифагора, верно?

В конце девятнадцатого века высказывались разнообразные предположения о существовании обитателей Марса подобных человеку, это явилось следствием открытий итальянского астронома Скиапарелли (открыл на Марсе каналы которые долгое время считались исскуственными) и др. Естественно, что вопрос о том, можно ли с помощью световых сигналов объясняться с этими гипотетическими существами, вызвал оживленную дискуссию. Парижской академией наук была даже установлена премия в 100000 франков тому, кто первый установит связь с каким-нибудь обитателем другого небесного тела; эта премия все еще ждет счастливца. В шутку, хотя и не совсем безосновательно, было решено передать обитателям Марса сигнал в виде теоремы Пифагора.

Неизвестно, как это сделать; но для всех очевидно, что математический факт, выражаемый теоремой Пифагора имеет место всюду и поэтому похожие на нас обитатели другого мира должны понять такой сигнал.

О чём расскажет психоматрица?

Квадрат Пифагора это цифровая матрица из 9 ячеек, традиционно изображающаяся в форме квадрата 3х3 клетки. В качестве исходных данных для расчёта берётся ваша дата рождения, и после несложных математических расчётов ячейки матрицы заполняются цифрами или пробелами. Ячейки нумеруются столбиками сверху вниз слева направо, каждая отвечает за свой аспект вашего характера.

  1. Характер — сила характера, целеустремлённость, сила воли.
  2. Энергия — общее физическое состояние, внутренняя энергия.
  3. Наука — интерес и способности к точным наукам.
  4. Здоровье — общее состояние здоровья.
  5. Логика — уровень рационального логического мышления, интуиция.
  6. Труд и власть — склонности к труду и руководству людьми.
  7. Удача — везение, фарт, удача в жизни, любви и делах.
  8. Долг — уровень ответственности, порядочности и долга.
  9. Ум — уровень памяти и умственных способностей.

Кроме самих ячеек, при толковании учитываются ещё и линии: 3 вертикальных, 3 горизонтальных + 2 диагонали.

  • Линии — «Целеустремлённость», «Семьянин», «Стабильность».
  • Столбцы — «Самооценка», «Материальная независимость», «Таланты».
  • Диагонали — «Темперамент», «Духовность».

Подробную расшифровку ячеек и линий для своей даты рождения вы получите в онлайн-расчёте.

Бизнес и финансы

БанкиБогатство и благосостояниеКоррупция(Преступность)МаркетингМенеджментИнвестицииЦенные бумагиУправлениеОткрытые акционерные обществаПроектыДокументыЦенные бумаги — контрольЦенные бумаги — оценкиОблигацииДолгиВалютаНедвижимость(Аренда)ПрофессииРаботаТорговляУслугиФинансыСтрахованиеБюджетФинансовые услугиКредитыКомпанииГосударственные предприятияЭкономикаМакроэкономикаМикроэкономикаНалогиАудитМеталлургияНефтьСельское хозяйствоЭнергетикаАрхитектураИнтерьерПолы и перекрытияПроцесс строительстваСтроительные материалыТеплоизоляцияЭкстерьерОрганизация и управление производством

Доказательство Дж. Гарфилда

Джеймс Гарфилд – двадцатый президент Соединенных Штатов Америки. Кроме того, что он оставил свой след в истории как правитель США, он был еще и одаренным самоучкой.

В начале своей карьеры он был обычным преподавателем в народной школе, но вскоре стал директором одного из высших учебных заведений. Стремление к саморазвитию и позволило ему предложить новую теорию доказательства теоремы Пифагора. Теорема и пример ее решения выглядит следующим образом.

Сначала нужно начертить на листе бумаги два прямоугольных треугольника таким образом, чтобы катет одного из них был продолжением второго. Вершины этих треугольников нужно соединить, чтобы в конечном итоге получилась трапеция.

Как известно, площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту.

S=а+в/2 * (а+в)

Если рассмотреть получившуюся трапецию, как фигуру, состоящую из трех треугольников, то ее площадь можно найти так:

S=ав/2 *2 + с2/2

Теперь необходимо уравнять два исходных выражения

2ав/2 + с/2=(а+в)2/2

с2=а2+в2

О теореме Пифагора и способах ее доказательства можно написать не один том учебного пособия. Но есть ли в нем смысл, когда эти знания нельзя применить на практике?

Теорема Пифагора

Попытаемся установить связь между гипотенузой и катетами прямоугольного треугольника. Пусть в некотором прямоугольном треуг-ке катеты имеют длины а и b, а гипотенуза равна с. Пусть один из острых углов треуг-ка составляет α, тогда другой острый угол должен равняться 90 – α:

Далее возьмем 4 таких треуг-ка и расположим их следующим образом:

Здесь мы прикладываем треуг-ки так, чтобы их разные катеты образовали одну сторону четырехугольника. В результате получается большой квадрат со стороной a + b. Квадратом он является по определению, ведь все его стороны одинаковы, а углы – прямые.

Изучим центральную фигуру, чью площадь мы обозначили как S2. Это четырехуг-к, причем все его стороны равны с, то есть длине гипотенузы треугольника. С другой стороны, каждый его угол можно найти, вычтя из 180° величины α и 90° – α:

Получается, что всего его углы прямые, то есть он является квадратом. Найдем его площадь:

Вернемся к большому квадрату. С одной стороны, его площадь можно записать как сумму площадей фигур, его составляющих:

Cдругой стороны, эту же площадь можно найти, просто возведя в квадрат его сторону:

Получили формулу, в которой и заключен смысл теоремы Пифагора:

Изучим несколько простейших примеров использования теоремы Пифагора.

Задание. Длины катетов прямоугольного треугольника составляют 5 и 12. Определите длину гипотенузы.

Решение. Запишем теорему Пифагора:

Задание. Длина катета треугольника составляет 3, а гипотенузы – 5. Какова длина другого катета?

Решение: На это раз нам известен один из катетов а = 3 и гипотенуза с = 5. Подставим в теорему Пифагора эти числа:

Теорема Пифагора имеет огромное значение для геометрии и смежных дисциплин. Приведенное здесь ее доказательство является одним из простейших, но отнюдь не единственным. Сегодня человечеству известно 367 различных доказательств теоремы Пифагора, что лишь показывает ее огромную значимость.

На самом деле Пифагор, известный древнегреческий математик, не был первым, кто обнаружил это равенство. Пифагор родился примерно в 570 г. до н. э., однако ещё египтяне знали про прямоугольный треуг-к со сторонами 3, 4 и 5. Поэтому его часто именуют египетским треугольником.

Также вычислять стороны прямоугольного треуг-ка умели и в Вавилоне уже за 1000 лет до рождения Пифагора. Вероятно, Пифагор узнал о формуле от вавилонян, а сам лишь вывел ее доказательство (вавилоняне не утруждали себя необходимостью доказывать теоремы геометрии). Утверждается, что Пифагор принес сделал жертвоприношение в размере 100 быков после того, как смог доказать теорему.

Задание. Вычислите гипотенузу равнобедренного прямоугольного треуг-ка, чьи катеты имеют единичную длину.

Решение. В теорему Пифагора вместо букв a и b подставим единицу:

Обратите внимание, что в данной задаче в качестве длины гипотенузы прямоугольного треугольника получилось. Исторически именно при решении подобной задачи люди (это были ученики Пифагора) впервые столкнулись с иррациональными числами

Перед дальнейшим изучением темы есть смысл вспомнить основные правила вычислений с .

Задание. На рисунке построен произвольный квадрат. Предложите способ, как построить квадрат с вдвое большей площадью.

Решение. Проведем в исходном квадрате диагональ. Далее построим новый квадрат со стороной, равной этой гипотенузе:

Докажем, что получившийся квадрат (его стороны отмечены синим цветом) вдвое больше исходного квадрата. Пусть сторона изначального квадрата равна х.Тогда его площадь составляет х2. Диагональ разбивает квадрат на два прямоугольных треуг-ка, в которых она является гипотенузой.

Запишем для одного из них теорему Пифагора:

Но площадь квадрата равна его стороне, возведенной во вторую степень, поэтому величина с2– это площадь большого (на рисунке – синего)квадрата, а х2 – площадь маленького:

Подставим эти выражения в формулу, выведенную из теоремы Пифагора, и получим, что площадь большего квадрата ровно вдвое больше:

Задание. Найдите площадь равнобедренного прямоугольного треуг-ка, гипотенуза которого имеет длину 10.

Решение. Обозначим катеты переменной х, тогда теорема Пифагора будет выглядеть как уравнение:

Задание. Один из острых углов прямоугольного треугольника составляет 30°, а его гипотенуза равна 10. Найдите оба катета.

Решение. Мы знаем, что в прямоугольном треуг-ке с острым углом 30° гипотенуза вдвое длиннее меньшего катета (он как раз лежит против угла 30°), мы можем найти этот катет:

10:2 = 5

Другой катет находим с помощью теоремы Пифагора:

4000 лет спустя

История теоремы Пифагора уходит в глубокую древность. Упоминания о ней содержатся ещё в вавилонских клинописных текстах времён царя Хаммурапи (XVIII век до н. э.), то есть за 1200 лет до рождения Пифагора. Теорема применялась как готовое правило во многих задачах, самая простая из которых — нахождение диагонали квадрата по его стороне. Не исключено, что соотношение a2 + b2 = c2 для произвольного прямоугольного треугольника вавилоняне получили, попросту «обобщив» равенство a2 + a2 = c2. Но им это простительно — для практической геометрии древних, сводившейся к измерениям и вычислениям, строгих обоснований не требовалось.

Теперь, почти 4000 лет спустя, мы имеем дело с теоремой-рекордсменом по количеству всевозможных доказательств. Между прочим, их коллекционирование — давняя традиция. Пик интереса к теореме Пифагора пришёлся на вторую половину XIX — начало XX столетия. И если первые коллекции содержали не более двух-трёх десятков доказательств, то к концу XIX века их число приблизилось к 100, а ещё через полвека превысило 360, и это только тех, что удалось собрать по разным источникам. Кто только не брался за решение этой нестареющей задачи — от именитых учёных и популяризаторов науки до конгрессменов и школьников. И что примечательно, в оригинальности и простоте решения иные любители не уступали профессионалам!

Самым древним из дошедших до нас доказательствам теоремы Пифагора около 2300 лет. Одно из них — строгое аксиоматическое — принадлежит древнегреческому математику Евклиду, жившему в IV–III веках до н. э. В I книге «Начал» теорема Пифагора значится как «Предложение 47». Самые наглядные и красивые доказательства построены на перекраивании «пифагоровых штанов». Они выглядят как хитроумная головоломка на разрезание квадратов. Но заставьте фигуры правильно двигаться — и они откроют вам секрет знаменитой теоремы.

Вот какое изящное доказательство получается на основе чертежа из одного древнекитайского трактата (рис. 3), и сразу проясняется его связь с задачей об удвоении площади квадрата.

Именно такое доказательство пытался объяснить своему младшему другу семилетний Гвидо, не по годам смышлёный герой новеллы английского писателя Олдоса Хаксли «Маленький Архимед». Любопытно, что рассказчик, наблюдавший эту картину, отметил простоту и убедительность доказательства, поэтому приписал его… самому Пифагору. А вот главный герой фантастической повести Евгения Велтистова «Электроник — мальчик из чемодана» знал 25 доказательств теоремы Пифагора, в том числе данное Евклидом; правда, ошибочно назвал его простейшим, хотя на самом деле в современном издании «Начал» оно занимает полторы страницы!

Новый пользователь

Справочная информация

ДокументыЗаконыИзвещенияУтверждения документовДоговораЗапросы предложенийТехнические заданияПланы развитияДокументоведениеАналитикаМероприятияКонкурсыИтогиАдминистрации городовПриказыКонтрактыВыполнение работПротоколы рассмотрения заявокАукционыПроектыПротоколыБюджетные организацииМуниципалитетыРайоныОбразованияПрограммыОтчетыпо упоминаниямДокументная базаЦенные бумагиПоложенияФинансовые документыПостановленияРубрикатор по темамФинансыгорода Российской Федерациирегионыпо точным датамРегламентыТерминыНаучная терминологияФинансоваяЭкономическаяВремяДаты2015 год2016 годДокументы в финансовой сферев инвестиционной

Заключение

Эта статья создана, чтобы вы могли заглянуть за пределы школьной программы по математике и узнать не только те доказательства теоремы Пифагора, которые приведены в учебниках «Геометрия 7-9» (Л.С. Атанасян, В.Н. Руденко) и «Геометрия 7-11» (А.В. Погорелов), но и другие любопытные способы доказать знаменитую теорему. А также увидеть примеры, как теорема Пифагора может применяться в обычной жизни.

Во-первых, эта информация позволит вам претендовать на более высокие баллы на уроках математики – сведения по предмету из дополнительных источников всегда высоко оцениваются.

Во-вторых, нам хотелось помочь вам прочувствовать, насколько математика интересная наука. Убедиться на конкретных примерах, что в ней всегда есть место творчеству. Мы надеемся, что теорема Пифагора и эта статья вдохновят вас на самостоятельные поиски и волнующие открытия в математике и других науках.

Оцените статью
Рейтинг автора
5
Материал подготовил
Андрей Измаилов
Наш эксперт
Написано статей
116
Добавить комментарий